El campo eléctrico creado por distribuciones continuas de cargas

En entradas anteriores hemos estudiado la fuerza electrostática mediante la ley de Coulomb y la intensidad del campo eléctrico cuando tenemos una distribución discreta (finita) de cargas puntuales. Cuando tenemos una distribución continua de cargas debemos considerar las variaciones infinitesimales del campo eléctrico que se producen en el espacio debidas a las variaciones infinitesimales de la distribución continua de carga:

Esta es la expresión general que nos permite determinar el campo eléctrico en cualquier situación. Para estudiar cómo se distribuye la carga en el espacio definimos la densidad volumétrica de carga:

Si en lugar de una distribución espacial tenemos una distribución en un plano, podemos definir la densidad superficial de carga:

Y en el caso de distribuciones de carga lineales se define la densidad lineal de carga:

Teniendo en cuenta estas expresiones resulta relativamente sencillo calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga que presentan una simetría simple.

Campo eléctrico creado por una carga lineal finita

Vamos a considerar una carga uniforme Q distribuida uniformemente a lo largo del eje x, con una longitud L. El caso más sencillo es aquel en el que calculamos el campo eléctrico en un punto situado en el eje x:

Puedes comprobar que cuando el punto está muy alejado, es decir, si x_P >> L, la carga se comporta como si fuera puntual (el segundo término del denominador puede despreciarse y el campo eléctrico resulta ser el que esperaríamos para una carga Q puntual).

Aunque es un poco más laborioso, también podemos calcular el campo eléctrico debido a una carga lineal uniforme de longitud L en un punto P exterior situado en su mediatriz. En este caso, el campo tiene una componente paralela a la carga lineal y otra perpendicular a ésta. Sin embargo, dada la simetría de la distribución cuando sumemos todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anularán y el campo estará dirigido a lo largo del eje y:

Vemos que si consideramos un punto muy alejado, y >> L , una carga lineal finita se comporta como una carga puntual.

Si calculamos el campo eléctrico en un punto P arbitrario, exterior a la carga lineal, no necesariamente en su mediatriz, el proceso es similar a la hora de calcular la componente en el eje y:

Campo eléctrico creado por una carga lineal infinita

Si se considera un punto del campo muy próximo a una carga lineal o, alternativamente, la carga lineal es de gran longitud:

Campo eléctrico sobre el eje de una carga anular

Consideramos un anillo de radio a con una carga Q uniforme. Deseamos determinar el campo eléctrico en un punto P del eje del anillo a una distancia  del centro del mismo. El campo  eléctrico tendrá una componente dirigida a lo largo del eje del anillo y otra perpendicular a éste.

A partir de la simetría de la figura vemos que el campo resultante debido al anillo entero estará dirigido a lo largo de su eje; la suma de las componentes perpendiculares es nula y la componente axial del campo debido al elemento de carga será:

Campo eléctrico en el eje de un disco uniformemente cargado

Podemos suponer que el disco, de radio R y carga total Q, está constituido por una serie de cargas anulares concéntricas. Por simetría, el campo eléctrico  estará dirigido a lo largo del eje x:

Campo eléctrico en las proximidades de un plano infinito

A partir de la ecuación anterior:

El campo debido a una distribución de carga en un plano infinito es constante, no depende de x. Sin embargo, presenta una discontinuidad: para valores negativos de x, al otro lado del plano, el campo será negativo.

 

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